ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Параллелепипед и куб: свойства граней, диагоналей и теорема о квадрате диагонали
Геометрия · 10 класс3 четвертьТема 7ГОСО РК 2026Базовый

Многогранники: призма (прямая, наклонная, правильная). Боковая и полная поверхность призмы

Определение призмы, основания, боковые ребра и грани. Прямая и правильная призма. Теоремы о боковой поверхности прямой и наклонной призмы. Полная поверхность.

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы6 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ3 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

Элементы призмы и ее классификация

1. Определение призмы:

Многогранник, две грани которого (основания) — равные n-угольники с соответственно параллельными сторонами, а остальные n граней (боковые грани) — параллелограммы.

2. Элементы призмы:

• Основания (A₁A₂...An и B₁B₂...Bn) — равные многоугольники в параллельных плоскостях;

• Боковые ребра (A₁B₁, A₂B₂...) — отрезки, соединяющие соответственные вершины; все боковые ребра равны и параллельны между собой;

• Высота (H) — перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований;

• Диагональ призмы — отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани.

3. Классификация:

• Наклонная призма: боковые ребра наклонены к основаниям (H < l);

• Прямая призма: боковые ребра перпендикулярны основаниям (H = l, грани — прямоугольники);

• Правильная призма: прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник (правильный треугольник, квадрат, правильный шестиугольник).

Чертеж: Призма, основания, боковые ребра и высота

Векторная схема
H = lSосн (верхнее)Sосн (нижнее)Прямая призма: V = Sосн · H; Sбок = Pосн · H; Sполн = Sбок + 2Sосн
Прямая призма: боковые грани — прямоугольники; высота H = боковому ребру l; основания параллельны.
ПРЯМАЯ ПРИЗМА

Ребра ⊥ основанию

Высота равна длине бокового ребра (H = l); боковые грани — идеальные прямоугольники.
ПРАВИЛЬНАЯ ПРИЗМА

Правильное основание

Прямая призма с правильным треугольником, квадратом или шестиугольником в основании.
Площади поверхностей прямой призмы
Sбок=Pосн⋅H;Sполн=Sбок+2SоснS_\text{бок} = P_\text{осн} \cdot H;\quad \quad S_\text{полн} = S_\text{бок} + 2S_\text{осн}
В правильной n-угольной призме площадь боковой поверхности: Sбок = n · (a · H).
Раздел 2 из 5
2

Боковая и полная поверхность прямой призмы

Теорема о боковой поверхности прямой призмы:

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту (длину бокового ребра) призмы:

Sбок = Pосн * H.

Доказательство:

1. Боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками с высотой H и основаниями a₁, a₂, ..., an (стороны основания);

2. Площадь каждой боковой грани: Si = ai * H;

3. Суммируя площади всех боковых граней:

Sбок = a₁H + a₂H + ... + anH = (a₁ + a₂ + ... + an) * H = Pосн * H. Теорема доказана.

Площадь полной поверхности призмы:

Sполн = Sбок + 2Sосн = Pосн * H + 2Sосн.

Sбок = Pосн · H

Развертка боковой поверхности

Развертка боковой поверхности прямой призмы представляет собой большой прямоугольник размером Pосн × H.
2Sосн

Два основания

В полную площадь всегда входят площади ДВУХ оснований (верхнего и нижнего).
Раздел 3 из 5
3

Боковая поверхность наклонной призмы (перпендикулярное сечение)

Для наклонной призмы боковые грани являются наклонными параллелограммами.

Теорема о боковой поверхности наклонной призмы:

Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на длину бокового ребра:

Sбок = Pперп * l,

где перпендикулярное сечение — сечение плоскостью, перпендикулярной боковым ребрам призмы, а l — длина бокового ребра.

Наклонная призма
Sбок=Pперп⋅l;V=Sперп⋅l=Sосн⋅HS_\text{бок} = P_\text{перп} \cdot l;\quad \quad V = S_\text{перп} \cdot l = S_\text{осн} \cdot H
Перпендикулярное сечение пересекает все боковые ребра под прямым углом 90°.
Раздел 4 из 5
4

Алгоритм вычисления полной поверхности правильной призмы

Схема расчета для правильной n-угольной призмы:

Шаг 1
Расчет основания
Найти периметр Pосн = n * a и площадь Sосн (для n=3: a²√3/4; для n=4: a²; для n=6: 3a²√3/2).
Шаг 2
Расчет боковой поверхности
Умножить периметр на высоту: Sбок = Pосн * H.
Шаг 3
Суммирование полной поверхности
Сложить боковую площадь и удвоенную площадь основания: Sполн = Sбок + 2Sосн.
Раздел 5 из 5
5

Ловушки ЕНТ: Забытое второе основание

Самая обидная ошибка на ЕНТ:

При вопросе «Найдите полную поверхность призмы» учащиеся находят Sбок + Sосн (забывая умножить площадь основания на 2!).

У пирамиды основание одно, а у призмы оснований ВСЕГДА ДВА (верхнее и нижнее):

Sполн = Sбок + 2 * Sосн!

Внимательно читайте вопрос: просят площадь боковой поверхности (Sбок) или полной (Sполн).

Ловушка ЕНТ: 2S_осн для призмы

Никогда не забывайте множитель 2 перед площадью основания при расчете полной поверхности призмы: Sполн = Sбок + 2Sосн!

Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул10 класс
Теорема о трех перпендикулярах:
AH⊥α,c⊂α  ⟹  (c⊥HM  ⟺  c⊥AM)AH \perp \alpha, \quad c \subset \alpha \implies (c \perp HM \iff c \perp AM)
Площадь ортогональной проекции:
Sпр=S⋅cos⁡φS_{пр} = S \cdot \cos\varphi[см²]
Боковая поверхность прямой призмы:
Sбок=Pосн⋅hS_{бок} = P_{осн} \cdot h[см²]
Диагональ прямоугольного параллелепипеда:
d2=a2+b2+c2d^2 = a^2 + b^2 + c^2[см²]
Следующая тема

Параллелепипед и куб: свойства граней, диагоналей и теорема о квадрате диагонали

Перейти к теме →