ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Параллелограмм: свойства сторон, углов и диагоналей. Признаки параллелограмма
Геометрия · 8 класс1 четвертьТема 1ГОСО РК 2026Базовый

Многоугольники: выпуклые многоугольники, сумма внутренних и внешних углов

Определение многоугольника, выпуклость, диагонали. Теорема о сумме внутренних углов выпуклого n-угольника и сумме внешних углов.

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы6 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ1 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

Понятие многоугольника, вершины, стороны и диагонали

1. Определение:

Многоугольник — фигура на плоскости, образованная замкнутой ломаной линией без самопересечений. Звенья ломаной называются сторонами многоугольника, а их концы — вершинами.

2. Обозначение:

Многоугольник с n вершинами (и n сторонами) называют n-угольником (треугольник при n = 3, четырехугольник при n = 4, пятиугольник при n = 5 и т.д.).

3. Диагональ многоугольника:

Отрезок, соединяющий две любые несоседние вершины многоугольника, называется его диагональю.

Из одной вершины n-угольника можно провести (n - 3) диагонали (так как нельзя соединить саму вершину и две соседние с ней).

Всего в n-угольнике число диагоналей равно: N=n(n−3)2N = \frac{n(n - 3)}{2}.

Чертеж: Выпуклый многоугольник и его диагонали

Векторная схема
Иллюстративная схема (convex_polygon)
Из одной вершины n-угольника исходит (n - 3) диагонали, разбивающие его на (n - 2) треугольника.
n-УГОЛЬНИК

Замкнутый многоугольник

Геометрическая фигура с n вершинами и n сторонами без самопересечений.
ДИАГОНАЛЬ

Несоседняя связка

Отрезок между двумя несоседними вершинами; в треугольнике диагоналей нет (N = 0).
Число диагоналей n-угольника
Nдиаг=n(n−3)2N_\text{диаг} = \frac{n(n - 3)}{2}
Для четырехугольника: N = 4*1/2 = 2; для пятиугольника: N = 5*2/2 = 5; для шестиугольника: N = 6*3/2 = 9.
Раздел 2 из 5
2

Выпуклые многоугольники и сумма внутренних углов

1. Выпуклость:

Многоугольник называется выпуклым, если при продолжении любой его стороны в бесконечную прямую весь многоугольник целиком лежит в одной полуплоскости относительно этой прямой.

2. Теорема о сумме углов выпуклого n-угольника:

Сумма внутренних углов любого выпуклого n-угольника равна:

Sn=(n−2)∗180∘S_n = (n - 2) * 180^\circ.

Доказательство триангуляцией:

1. Выберем одну вершину выпуклого n-угольника.

2. Проведем из нее все возможные диагонали (их число равно n - 3).

3. Эти диагонали разобьют n-угольник на (n - 2) неперекрывающихся треугольника.

4. Сумма углов каждого треугольника равна 180°, а сумма углов всех треугольников совпадает с суммой внутренних углов n-угольника.

5. Следовательно: Sn = (n - 2) * 180°. Теорема доказана.

ТРИАНГУЛЯЦИЯ

Разбиение на треугольники

Метод деления n-угольника диагоналями из одной вершины на (n - 2) треугольника.
ПРАВИЛЬНЫЙ n-УГОЛЬНИК

Равные стороны и углы

Каждый угол правильного n-угольника равен: α = (n - 2) * 180° / n.
Сумма углов выпуклого n-угольника
∑i=1nαi=(n−2)⋅180∘;αправ=(n−2)⋅180∘n\sum_{i=1}^n \alpha_i = (n - 2) \cdot 180^\circ;\quad \quad \alpha_\text{прав} = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}
Для n = 3: S = 180°; для n = 4: S = 360°; для n = 5: S = 540°; для n = 6: S = 720°.
Раздел 3 из 5
3

Внешние углы выпуклого многоугольника

1. Внешний угол:

Угол, смежный с внутренним углом многоугольника при данной вершине, называется внешним углом многоугольника: θi = 180° - αi.

2. Теорема о сумме внешних углов:

Сумма внешних углов выпуклого n-угольника, взятых по одному при каждой вершине, всегда равна 360° независимо от числа сторон n:

θ₁ + θ₂ + ... + θn = 360°.

Доказательство:

Сумма всех пар (внутренний + внешний) при n вершинах равна n * 180°.

Вычитая сумму внутренних углов: n * 180° - (n - 2) * 180° = 180°(n - n + 2) = 360°. Теорема доказана.

3. Внешний угол правильного n-угольника:

θправ = 360° / n.

Сумма внешних углов
∑i=1nθi=360∘;θправ=360∘n\sum_{i=1}^n \theta_i = 360^\circ;\quad \quad \theta_\text{прав} = \frac{360^\circ}{n}
Сумма внешних углов инвариантна и не зависит от количества сторон n!
Раздел 4 из 5
4

Алгоритм определения параметров многоугольника

Для нахождения числа сторон, углов и диагоналей:

Шаг 1
Определение числа сторон n по сумме углов S
Разделить сумму S на 180° и прибавить 2: n = (S / 180°) + 2.
Шаг 2
Определение правильного многоугольника по углу α
Найти внешний угол: θ = 180° - α. Затем число сторон: n = 360° / θ.
Шаг 3
Подсчет числа диагоналей
Использовать формулу комбинаторики: N = n(n - 3) / 2.
Раздел 5 из 5
5

Ловушки ЕНТ: Поиск числа сторон по внешнему углу

Классический вопрос ЕНТ:

«Каждый внутренний угол правильного многоугольника равен 150°. Сколько сторон имеет этот многоугольник?»

Длинный путь (составление уравнения):

(n - 2) * 180° / n = 150° => 180n - 360 = 150n => 30n = 360 => n = 12.

Быстрый путь ЕНТ (через внешний угол в 5 секунд):

Внешний угол равен: θ = 180° - 150° = 30°.

Так как сумма внешних углов равна 360°, число сторон равно: n = 360° / 30° = 12 сторон!

Этот прием экономит до 2 минут на экзамене.

Секрет ЕНТ: Расчет через внешний угол

Всегда переходите от внутреннего угла к внешнему: n = 360° / (180° - α). Это мгновенно дает верный результат без дробей и раскрытия скобок!

Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул8 класс
Сумма углов n-угольника:
Sn=(n−2)⋅180∘S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ[градусы]
Квадраты диагоналей:
d12+d22=2(a2+b2)d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)[см²]
Средняя линия трапеции:
m=a+b2m = \frac{a + b}{2}[см]
Площадь параллелограмма:
S=a⋅ha=absin⁡αS = a \cdot h_a = a b \sin\alpha[см²]
Следующая тема

Параллелограмм: свойства сторон, углов и диагоналей. Признаки параллелограмма

Перейти к теме →