ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Объемы тел вращения: объем цилиндра, конуса, усеченного конуса и шара
Геометрия · 11 класс2 четвертьТема 5ГОСО РК 2026Базовый

Объем пирамиды и усеченной пирамиды

Формула объема произвольной пирамиды (V = (1/3)S_осн · H). Доказательство триангуляцией призмы. Объем усеченной пирамиды.

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы6 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ2 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

Теорема об объеме пирамиды и доказательство коэффициента 1/3

Теорема:

Объем любой пирамиды (треугольной, четырехугольной, n-угольной, наклонной или правильной) равен одной трети произведения площади ее основания на высоту:

V=13Sосн⋅HV = \frac{1}{3} S_\text{осн} \cdot H.

Классическое доказательство Евклида (разбиение треугольной призмы):

1. Рассмотрим треугольную призму ABCA₁B₁C₁ с площадью основания S и высотой H. Ее объем равен Vпризмы = S * H;

2. Проведем секущие плоскости через вершины призмы, разбив ее ровно на 3 треугольные пирамиды: T₁ = (C₁ABC), T₂ = (C₁A₁B₁A), T₃ = (C₁B₁BB₁);

3. Пирамиды T₁ и T₂ имеют равные основания (основания призмы ABC и A₁B₁C₁) и общую высоту, опущенную из C₁ => их объемы равны: V(T₁) = V(T₂);

4. Пирамиды T₂ и T₃ имеют равные основания (половины параллелограмма боковой грани ABB₁A₁) и общую высоту из вершины C₁ => их объемы равны: V(T₂) = V(T₃);

5. Следовательно, все 3 пирамиды равновелики: V(T₁) = V(T₂) = V(T₃) = (1/3) * Vпризмы = (1/3) * S * H. Теорема доказана для треугольной пирамиды, а любая n-угольная пирамида разбивается на треугольные пирамиды.

Чертеж: Объем пирамиды и усеченной пирамиды

Векторная схема
S (вершина)Hha (апофема)Правильная пирамида: V = (1/3) · Sосн · H; Sбок = (1/2) · Pосн · ha
Объем пирамиды V = (1/3)Sосн · H ровно в 3 раза меньше объема призмы с тем же основанием и высотой!
КОЭФФИЦИЕНТ 1/3

Треть объема призмы

Любая пирамида вмещает ровно в три раза меньше объема, чем призма тех же габаритов.
ПРАВИЛЬНЫЙ ТЕТРАЭДР

V = a³√2 / 12

Пирамида из 4 правильных треугольников со стороной a: V = a³√2 / 12.
Объем пирамиды
V=13Sосн⋅H;Vтетраэдра=a3212V = \frac{1}{3} S_\text{осн} \cdot H;\quad \quad V_\text{тетраэдра} = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}
Коэффициент 1/3 является фундаментальным для всех конических и пирамидальных тел!
Раздел 2 из 5
2

Объем усеченной пирамиды

Теорема:

Объем усеченной пирамиды с площадями оснований S₁ (нижнее) и S₂ (верхнее) и высотой H вычисляется по формуле:

V=13H(S1+S1S2+S2)V = \frac{1}{3} H \left(S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2\right).

Геометрический смысл среднего геометрического √(S₁S₂):

Величина √(S₁S₂) представляет собой среднее геометрическое площадей оснований. Если бы усеченная пирамида была призмой, объем был бы H * S; если бы пирамидой — (1/3)H * S. Формула усеченной пирамиды гармонично интерполирует эти объемы через слагаемое √(S₁S₂).

УСЕЧЕННЫЙ ОБЪЕМ

V = (H/3)(S₁ + √(S₁S₂) + S₂)

Универсальная формула объема любого пирамидального усеченного конуса и пирамиды.
Объем усеченной пирамиды
V=13H(S1+S1S2+S2)V = \frac{1}{3} H (S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2)
При S₂ = 0 формула переходит в обычную пирамиду: (1/3)HS₁; при S₂ = S₁ — в прямую призму: HS₁.
Раздел 3 из 5
3

Подобие пирамид при параллельном сечении

Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной основанию, на расстоянии h от вершины (полная высота пирамиды H):

1. Отсекаемая верхняя пирамида подобна исходной пирамиде с коэффициентом подобия:

k=hHk = \frac{h}{H};

2. Площади оснований относятся как квадрат коэффициента подобия:

SверхSосн=k2=(hH)2\frac{S_\text{верх}}{S_\text{осн}} = k^2 = \left(\frac{h}{H}\right)^2;

3. Объемы пирамид относятся как куб коэффициента подобия:

VверхVисход=k3=(hH)3\frac{V_\text{верх}}{V_\text{исход}} = k^3 = \left(\frac{h}{H}\right)^3;

4. Объем усеченной части составляет: Vусеч = Vисход - Vверх = Vисход * (1 - k³).

ЗАКОН k³ ДЛЯ ПИРАМИДЫ

Vверх = k³ · Vобщ

Если плоскость делит высоту пополам (k = 1/2), объем верхней части равен 1/8 от всего объема!
Раздел 4 из 5
4

Алгоритм вычисления объема пирамиды

Шаги расчета:

Шаг 1
Нахождение высоты пирамиды H
Использовать опорный прямоугольный треугольник: H = √(l² - R²) (по ребру) или H = √(ha2 - r²) (по апофеме).
Шаг 2
Нахождение площади основания Sосн
Вычислить площадь основания по формуле квадрата, правильного треугольника или многоугольника.
Шаг 3
Умножение с коэффициентом 1/3
V = (1/3) * Sосн * H.
Раздел 5 из 5
5

Ловушки ЕНТ: Сечение через середину высоты (1/8 против 1/2)

Любимый вопрос ЕНТ с подвохом:

«Плоскость, параллельная основанию пирамиды, делит ее высоту пополам. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?»

Типичный неверный ответ: 1 : 1 или 1 : 2.

Точный расчет по подобию:

1. Коэффициент подобия верхней отсекаемой пирамиды: k = h / H = 1 / 2;

2. Отношение объемов равно кубу коэффициента подобия:

Vверх = k³ * Vобщ = (1/2)³ * Vобщ = (1/8) * Vобщ;

3. Объем нижней (усеченной) части равен оставшимся 7 частям:

Vнижн = Vобщ - Vверх = Vобщ - (1/8)Vобщ = (7/8) * Vобщ;

4. Отношение объемов частей равно: Vверх / Vнижн = 1 / 7 (1 : 7)!

Ответ: 1 : 7 (а не 1 : 1).

Секрет ЕНТ: Отношение 1 : 7

Сечение через середину высоты делит объем пирамиды в отношении 1 : 7! Верхняя часть составляет 1/8 часть, нижняя — 7/8 частей.

Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул11 класс
Поверхность цилиндра:
Sбок=2πRh,Sполн=2πR(h+R)S_{бок} = 2\pi R h, \quad S_{полн} = 2\pi R(h + R)[см²]
Поверхность конуса:
Sбок=πRl,Sполн=πR(l+R)S_{бок} = \pi R l, \quad S_{полн} = \pi R(l + R)[см²]
Площадь сферы:
S=4πR2=πD2S = 4\pi R^2 = \pi D^2[см²]
Объем призмы и параллелепипеда:
V=Sосн⋅h,Vпар=abcV = S_{осн} \cdot h, \quad V_{пар} = a b c[см³]
Следующая тема

Объемы тел вращения: объем цилиндра, конуса, усеченного конуса и шара

Перейти к теме →