Подобные треугольники и три признака подобия треугольников

1. Определение подобия:

Треугольник ABC подобен треугольнику A₁B₁C₁ (записывается △ABC ~ △A₁B₁C₁), если:

• Соответственные углы равны: ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁;

• Соответственные стороны пропорциональны: AB / A₁B₁ = BC / B₁C₁ = AC / A₁C₁ = k.

2. Коэффициент подобия (k):

Число k, равное отношению соответственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия.

• Если k = 1, то треугольники равны (равенство — частный случай подобия с k = 1);

• Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия: P / P₁ = k;

• Отношение любых соответственных линейных элементов (высот, медиан, биссектрис, радиусов R и r) равно коэффициенту подобия k:

Для установления подобия треугольников не требуется проверять все 6 равенств, достаточно одного из трех признаков:

1. Первый признак подобия (по двум углам):

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны:

∠A = ∠A₁, \quad ∠B = ∠B₁ \implies △ABC ~ △A₁B₁C₁.

(Самый частый признак в геометрии!)

2. Второй признак подобия (по двум сторонам и углу между ними):

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы между ними равны:

3. Третий признак подобия (по трем сторонам):

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника:

Подобие треугольников возникает в стандартных задачах:

1. «Песочные часы» (трапеция с диагоналями):

В трапеции ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Треугольники при основаниях подобны:

△BOC ~ △DOA (по двум углам: накрест лежащие углы равны при параллельных основаниях);

Коэффициент подобия равен отношению оснований: k = BC / AD = b / a.

2. Прямая, параллельная стороне треугольника:

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, отсекает от него подобный треугольник: △MBN ~ △ABC.

3. Вписанный прямоугольный треугольник в окружность:

Угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

Шаги для расчета сторон подобных фигур:

Самая грубая ошибка на ЕНТ:

Учащиеся составляют отношение сторон «как попало» (например, делят сторону одного треугольника на соседнюю сторону того же треугольника, а не на сходственную сторону второго).

Железное правило геометрии:

Сходственные стороны ВСЕГДА лежат напротив РАВНЫХ углов!

Если угол A равен углу A₁, то сторона против угла A (BC) соотносится ТОЛЬКО со стороной против угла A₁ (B₁C₁): BC / B₁C₁ = k.