ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Пропорциональные отрезки и средние геометрические в прямоугольном треугольнике
Геометрия · 8 класс2 четвертьТема 5ГОСО РК 2026Базовый

Теорема Пифагора и обратная теорема. Египетский треугольник и пифагоровы тройки

Формулировка и доказательства теоремы Пифагора. Обратная теорема Пифагора. Египетский треугольник (3:4:5). Пифагоровы тройки чисел и их генерация.

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы4 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ2 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

Теорема Пифагора: геометрический смысл и доказательство

1. Формулировка теоремы:

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:

c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2.

2. Геометрическая интерпретация Пифагора:

Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах: Sc = Sa + Sb.

3. Классическое доказательство через площадь квадрата:

• Построим большой квадрат со стороной (a + b);

• Его площадь равна (a + b)² = a² + 2ab + b²;

• Внутри разместим 4 равных прямоугольных треугольника с катетами a и b (площадь каждого равна 0.5 * ab, сумма 4 площадей равна 2ab) и квадрат на гипотенузе со стороной c (площадь c²);

• Приравниваем: a² + 2ab + b² = c² + 2ab => c² = a² + b². Теорема доказана.

Чертеж: Геометрическая иллюстрация теоремы Пифагора

Векторная схема
b² (a²)a² (b²)c²Геометрический смысл: a² + b² = c²
Квадраты на катетах a² и b² в сумме по площади равны квадрату на гипотенузе c².
ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

c² = a² + b²

Базовый метрический закон плоского пространства, связывающий катеты и гипотенузу.
КВАДРАТ ГИПОТЕНУЗЫ

Геометрическая сумма

Площадь квадрата на гипотенузе равна сумме площадей квадратов на катетах.
Теорема Пифагора
c=a2+b2;a=c2−b2;b=c2−a2c = \sqrt{a^2 + b^2};\quad \quad a = \sqrt{c^2 - b^2};\quad \quad b = \sqrt{c^2 - a^2}
Применима ТОЛЬКО к прямоугольным треугольникам! Для непрямоугольных используется теорема косинусов.
Раздел 2 из 5
2

Обратная теорема Пифагора и классификация треугольников

Теорема, обратная теореме Пифагора:

Если квадрат наибольшей стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон (c² = a² + b²), то угол, лежащий против наибольшей стороны, является прямым, а треугольник — прямоугольным.

Универсальный критерий вида треугольника по сторонам:

Пусть c — наибольшая сторона треугольника со сторонами a, b, c:

1. Если c² = a² + b² => треугольник прямоугольный (угол = 90°);

2. Если c² < a² + b² => треугольник остроугольный (все углы < 90°);

3. Если c² > a² + b² => треугольник тупоугольный (угол > 90°).

ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА

Проверка прямоугольности

Позволяет доказать прямой угол без транспортира, зная только три длины сторон.
ТУПОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

c² > a² + b²

Квадрат наибольшей стороны строго превосходит сумму квадратов двух других.
Классификация треугольника по сторонам
c2=a2+b2  ⟺  90∘;c2<a2+b2  ⟺  <90∘;c2>a2+b2  ⟺  >90∘c^2 = a^2 + b^2 \iff 90^\circ;\quad \quad c^2 < a^2 + b^2 \iff <90^\circ;\quad \quad c^2 > a^2 + b^2 \iff >90^\circ
Сторона c обязана быть наибольшей из всех трех сторон треугольника!
Раздел 3 из 5
3

Египетский треугольник и пифагоровы тройки

1. Египетский треугольник:

Прямоугольный треугольник с отношением сторон 3 : 4 : 5 называется египетским (3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²).

В Древнем Египте землемеры использовали веревку с 12 узлами, завязанными через равные промежутки, для построения прямого угла на местности при разметке полей после разливов Нила.

2. Пифагоровы тройки чисел:

Тройки натуральных чисел (a, b, c), удовлетворяющие уравнению a² + b² = c².

Топ-5 пифагоровых троек, обязательных для ЕНТ:

• (3, 4, 5) и кратные: (6, 8, 10), (9, 12, 15), (15, 20, 25);

• (5, 12, 13) и кратные: (10, 24, 26);

• (8, 15, 17);

• (7, 24, 25);

• (9, 40, 41).

ЕГИПЕТСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК

3 : 4 : 5

Катеты 3k и 4k, гипотенуза 5k; площадь S = 6k².
ПИФАГОРОВЫ ТРОЙКИ

Целочисленные катеты

Наборы (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25) позволяют решать задачи ЕНТ устно.
Раздел 4 из 5
4

Алгоритм мгновенного распознавания пифагоровых троек

Чтобы не возводить большие числа в квадрат:

Шаг 1
Поиск общего делителя
Разделить все известные стороны на наибольший общий делитель (НОД). Например: стороны 15 и 20 делятся на 5 => получаем 3 и 4.
Шаг 2
Опознание базовой тройки
По катетам 3 и 4 гипотенуза базовой тройки равна 5.
Шаг 3
Возврат масштаба
Умножить базовый результат на НОД: c = 5 * 5 = 25.
Раздел 5 из 5
5

Ловушки ЕНТ: Проверка неравенства треугольника перед теоремой

Коварная задача ЕНТ:

«Определите вид треугольника со сторонами 2 см, 3 см и 6 см».

Многие ученики машинально начинают считать квадраты: 2² + 3² = 4 + 9 = 13, а 6² = 36. 36 > 13 => пишут «тупоугольный».

Правильный ответ:

ТАКОГО ТРЕУГОЛЬНИКА ВООБЩЕ НЕ СУЩЕСТВУЕТ!

По неравенству треугольника сумма двух меньших сторон обязана быть строго больше третьей: 2 + 3 = 5 < 6. Отрезки не сойдутся в треугольник!

Всегда в первую очередь проверяйте неравенство треугольника: a + b > c!

Ловушка ЕНТ: Существование треугольника

Перед применением обратной теоремы Пифагора ВСЕГДА проверяйте условие a + b > c. Если сумма меньших сторон ≤ третьей, треугольник не существует!

Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул8 класс
Сумма углов n-угольника:
Sn=(n−2)⋅180∘S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ[градусы]
Квадраты диагоналей:
d12+d22=2(a2+b2)d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)[см²]
Средняя линия трапеции:
m=a+b2m = \frac{a + b}{2}[см]
Площадь параллелограмма:
S=a⋅ha=absin⁡αS = a \cdot h_a = a b \sin\alpha[см²]
Следующая тема

Пропорциональные отрезки и средние геометрические в прямоугольном треугольнике

Перейти к теме →