ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Двугранный угол и перпендикулярные плоскости. Линейный угол двугранного угла
Геометрия · 10 класс2 четвертьТема 5ГОСО РК 2026Базовый

Перпендикуляр, наклонная и проекция. Угол между прямой и плоскостью

Ортогональное проектирование. Определение угла между прямой и плоскостью. Свойство наименьшего угла. Связь тригонометрии угла с длинами перпендикуляра и наклонной.

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы6 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ2 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

Определение угла между прямой и плоскостью

1. Ортогональное проектирование:

Отображение, при котором каждой точке пространства ставится в соответствие основание перпендикуляра, опущенного из нее на плоскость α.

2. Определение угла между прямой и плоскостью:

• Если прямая параллельна плоскости (или лежит в ней), угол считается равным 0°;

• Если прямая перпендикулярна плоскости, угол равен 90°;

• Если прямая пересекает плоскость под углом, отличным от прямого (наклонная), то углом между прямой и плоскостью называется угол φ между самой наклонной и ее ортогональной проекцией на эту плоскость:

φ = ∠(a, α) = ∠(AB, HB).

3. Границы угла:

0° ≤ φ ≤ 90°.

Чертеж: Угол между прямой и плоскостью

Векторная схема
αAHBc ⊂ αAH ⊥ α (перпендикуляр)AB (наклонная)HB (проекция на α)Теорема о трех перпендикулярах: c ⊥ HB ⇔ c ⊥ AB
Угол φ = ∠ABH между наклонной AB и ее проекцией HB; sin φ = AH / AB (противолежащий катет к гипотенузе).
УГОЛ (a, α)

Угол с проекцией

Острый угол в прямоугольном треугольнике между наклонной и ее тенью (проекцией) на плоскость.
НАИМЕНЬШИЙ УГОЛ

Экстремальное свойство

Угол с проекцией меньше угла с любой другой прямой, проведенной в плоскости α.
Тригонометрия угла с плоскостью
sin⁡φ=AHAB=перпендикулярнаклонная;cos⁡φ=HBAB=проекциянаклонная\sin \varphi = \frac{AH}{AB} = \frac{\text{перпендикуляр}}{\text{наклонная}};\quad \quad \cos \varphi = \frac{HB}{AB} = \frac{\text{проекция}}{\text{наклонная}}
Угол между прямой и плоскостью ВСЕГДА острый: 0° < φ < 90°!
Раздел 2 из 5
2

Тригонометрические соотношения в треугольнике наклонной

В опорном прямоугольном треугольнике △AHB (∠AHB = 90°):

1. Перпендикуляр (высота над плоскостью):

AH=AB∗sinφ=HB∗tgφAH = AB * sin \varphi = HB * tg \varphi ;

2. Проекция на плоскость:

HB=AB∗cosφ=AH∗ctgφHB = AB * cos \varphi = AH * ctg \varphi ;

3. Длина наклонной:

AB=AH/sinφ=HB/cosφAB = AH / sin \varphi = HB / cos \varphi .

Примеры при стандартных углах:

• Если φ = 30°: AH = AB / 2 (перпендикуляр равен половине наклонной);

• Если φ = 45°: AH = HB (перпендикуляр равен проекции, треугольник равнобедренный прямоугольный);

• Если φ = 60°: HB = AB / 2 (проекция равна половине наклонной).

УГОЛ 30°

AH = AB / 2

Перпендикуляр равен половине наклонной; проекция равна AB√3 / 2.
УГОЛ 45°

AH = HB

Перпендикуляр и проекция равны; наклонная равна AH√2.
Раздел 3 из 5
3

Теорема о равенстве углов наклонных

Теорема:

Если из одной точки проведены к плоскости несколько равных наклонных, то:

1. Их проекции равны между собой;

2. Они образуют с плоскостью равные углы;

3. Основания наклонных лежат на окружности с центром в основании перпендикуляра;

4. Основание перпендикуляра является центром описанной окружности около многоугольника, образованного основаниями наклонных (R = проекции)!

Равные наклонные и описанная окружность
AB1=AB2=...=ABn  ⟹  HB1=HB2=R;φ1=φ2=...=φnAB_1 = AB_2 = ... = AB_n \implies HB_1 = HB_2 = R;\quad \quad \varphi_1 = \varphi_2 = ... = \varphi_n
Если в пирамиде все боковые ребра равны, вершина пирамиды проецируется точно в центр описанной окружности основания!
Раздел 4 из 5
4

Алгоритм нахождения угла между прямой и плоскостью

Стандартный пошаговый метод:

Шаг 1
Поиск точки пересечения с плоскостью
Найти точку B, в которой наклонная пересекает плоскость α (вершина искомого угла).
Шаг 2
Опускание перпендикуляра
Из любой точки наклонной A опустить перпендикуляр AH на плоскость α.
Шаг 3
Проведение проекции и вычисление угла
Соединить H и B. В прямоугольном треугольнике △AHB найти sin φ = AH / AB или tg φ = AH / HB.
Раздел 5 из 5
5

Ловушки ЕНТ: Угол между диагональю куба и гранью

Популярный вопрос ЕНТ:

«Найдите косинус угла между диагональю куба и плоскостью его основания».

Типичная ошибка: берут косинус угла 45°.

Точный расчет:

1. Пусть ребро куба равно a;

2. Диагональ куба (наклонная): dкуба = a√3;

3. Проекция диагонали на основание — это диагональ квадрата основания: dосн = a√2;

4. Угол φ образован диагональю куба и ее проекцией;

5. Косинус угла равен отношению проекции к наклонной:

cos φ = (a√2) / (a√3) = √2 / √3 = √6 / 3 ≈ 0.816;

6. Синус этого угла: sin φ = a / (a√3) = 1 / √3 = √3 / 3.

Ответ: cos φ = √6 / 3 (угол равен приблизительно 35.26°).

Секрет ЕНТ: Диагональ куба с плоскостью

Запомните значения для куба: sin φ = 1/√3 = √3/3; cos φ = √(2/3) = √6/3; tg φ = 1/√2 = √2/2.

Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул10 класс
Теорема о трех перпендикулярах:
AH⊥α,c⊂α  ⟹  (c⊥HM  ⟺  c⊥AM)AH \perp \alpha, \quad c \subset \alpha \implies (c \perp HM \iff c \perp AM)
Площадь ортогональной проекции:
Sпр=S⋅cos⁡φS_{пр} = S \cdot \cos\varphi[см²]
Боковая поверхность прямой призмы:
Sбок=Pосн⋅hS_{бок} = P_{осн} \cdot h[см²]
Диагональ прямоугольного параллелепипеда:
d2=a2+b2+c2d^2 = a^2 + b^2 + c^2[см²]
Следующая тема

Двугранный угол и перпендикулярные плоскости. Линейный угол двугранного угла

Перейти к теме →