Алгебра Высказываний (булева алгебра)

     Основные понятия

Основное понятие булевой алгебры — выказывание. Под простым высказыванием понимается повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно (третьего не дано). Высказывания обозначаются латинскими буквами и могут принимать одно из двух значений: ЛОЖЬ (обозначим 0) или ИСТИНА (обозначим 1). Например, содержание высказывания А: «дважды два равно четырем» истинно А = 1, а высказывание В: «три больше пяти» всегда есть ЛОЖЬ. В дальнейшем нас не будет интересовать содержательная часть высказываний, а только их истинность. Два высказывания А и В называются равносильными, если они имеют одинаковые значения истинности, записывается А = В.

                                          Логические операции

Сложное высказывание можно построить из простых с помощью логических операций: отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и логических выражений, представляющих собой комбинации логических операций. Рассмотрим их подробней.

Операцией отрицания А называют высказывание А (или -А, говорят не А), которое истинно тогда, когда А ложно, и ложно тогда, когда А истинно. Например, если событие А состоит в том, что «завтра будет снег», то А «завтра НЕ будет снега», истинность одного утверждения автоматически означает ложность второго. Отрицание — унарная (т.е. для одного операнда) логическая операция. Ей соответствует языковая конструкция, использующая частицу НЕ. Это правило можно записать в виде следующей таблицы:

Такая таблица называется таблицей истинности.

Конъюнкцией (логическим умножением) двух высказываний А и В является новое высказывание С, которое истинно только тогда, когда истинны оба высказывания, записывается С = А л В или С = А & В (при этом говорят С равно А и В). Примером такой операции может быть следующая: пусть высказывание А состоит в том, что «высота шкафа меньше высоты двери», событие В «ширина шкафа меньше ширины двери», событие С «шкаф можно внести в дверь, если ширина шкафа меньше ширины двери И высота шкафа меньше высоты двери», т.е. данная операция применяется, если два высказывания связываются союзом И.

Таблица истинности этой операции, как следует из определения, имеет вид

Дизъюнкцией (логическим сложением) двух высказываний А и В является новое высказывание С, которое истинно, если истинно хотя бы одно высказывание. Записывается С = A v В (при этом говорят: С равно А ИЛИ В). Пример такой операции следующий: пусть высказывание А состоит в том, что «студент может добираться домой на автобусе», событие В «студент может добираться домой на троллейбусе», событие С «студент добрался домой на автобусе ИЛИ троллейбусе», т.е. данная операция применяется, если два высказывания связываются союзом ИЛИ.

Таблица истинности такой операции следующая:

Импликацией двух высказываний А (А называется посылкой) и В (В называется заключением) является новое высказывание С, которое ложно только тогда, когда посылка истинна, а заключение ложно, записывается С = А —> В (при этом говорят: из А следует В). Примером такой операции может быть любое рассуждение типа: если произошло событие А, то произойдет событие В, «если идет дождь, то на небе тучи». Очевидно, операция не симметрична, т.е. из В —> А не всегда истинно, в нашем примере «если на небе тучи, то идет дождь» не всегда истинно.

Таблица истинности импликации следующая:

Импликация имеет следующие свойства:
А -» В Ф В -> А
А —» А = 1

0-> А = 1
1 —> А = А
А —» 1 = 1

А —» 0 = А

Эквиваленцией двух высказываний А и В является новое высказывание С, которое истинно только тогда, когда оба высказывания имеют одинаковые значения истинности, записывается С = А <-» В
(.С = А = В). Примером такой операции может быть любое высказывание типа: событие А равносильно событию В.

Таблица истинности:

Эквиваленция имеет следующие свойства:
А <-> В = В <-» А

А <-» В = В <-» А
А <-» 1 = А

А <-» 0 = А