ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Комбинации геометрических тел: вписанные и описанные сферы
Геометрия · 11 класс3 четвертьТема 8ГОСО РК 2026Базовый

Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Расстояние от точки до плоскости

Общее уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0, вектор нормали n(A, B, C). Канонические уравнения прямой. Углы между плоскостями и расстояние от точки до плоскости.

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы6 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ3 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

Общее уравнение плоскости и вектор нормали

1. Вектор нормали:

Вектором нормали к плоскости называется любой ненулевой вектор n, перпендикулярный плоскости.

Координаты вектора нормали обозначаются n(A, B, C).

2. Уравнение плоскости по точке и нормали:

Если плоскость проходит через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и перпендикулярна вектору n(A, B, C), то для любой точки M(x, y, z) плоскости вектор M₀M перпендикулярен n:

n⋅M0M=0  ⟹  A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0n \cdot M_{0M} = 0 \implies A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0.

3. Общее уравнение плоскости:

Раскрывая скобки и обозначая D = -(Ax₀ + By₀ + Cz₀), получаем:

Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0.

Чертеж: Угол между плоскостями и вектор нормали

Векторная схема
αβРебро двугранного углаφ (линейный угол)Мера двугранного угла равна мере его линейного угла: l ⊥ ребру в обеих плоскостях
Плоскости α₁ и α₂, двугранный угол, нормали n₁(A₁, B₁, C₁) и n₂(A₂, B₂, C₂); cos φ = |n₁ · n₂| / (|n₁||n₂|).
ВЕКТОР НОРМАЛИ

n(A, B, C)

Вектор, перпендикулярный всем векторам, лежащим в данной плоскости.
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ

Пропорциональность нормалей

Плоскости параллельны, если их нормали коллинеарны: A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C₂.
Уравнение плоскости и вектор нормали
Ax+By+Cz+D=0;n⃗=(A,B,C)⊥π;A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0Ax + By + Cz + D = 0;\quad \quad \vec{n} = (A, B, C) \perp \pi;\quad \quad A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0
Коэффициенты при x, y, z в уравнении плоскости — это координаты её вектора нормали!
Раздел 2 из 5
2

Расстояние от точки до плоскости

1. Геометрический смысл:

Расстояние от точки M₁(x₁, y₁, z₁) до плоскости π — это длина перпендикуляра M₁H, опущенного из точки M₁ на плоскость π.

2. Формула расстояния:

Если плоскость задана общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0, то расстояние вычисляется по формуле:

d(M₁, π) = |Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D| / √(A² + B² + C²).

3. Правило вычисления:

• Подставить координаты точки (x₁, y₁, z₁) в левую часть уравнения плоскости и взять абсолютную величину (модуль);

• Разделить полученный результат на длину вектора нормали √(A² + B² + C²).

ФОРМУЛА РАССТОЯНИЯ

d = |уравнение| / |n|

Модуль подстановки точки, деленный на длину вектора нормали плоскости.
Расстояние от точки до плоскости
d=∣Ax1+By1+Cz1+D∣A2+B2+C2d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}
Если точка лежит на плоскости, то Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D = 0 и расстояние d = 0.
Раздел 3 из 5
3

Угол между двумя плоскостями и угол между прямой и плоскостью

1. Угол между плоскостями:

Угол между двумя пересекающимися плоскостями α₁: A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 и α₂: A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0 равен углу между их векторами нормалей n₁ и n₂:

cos φ = |A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂| / (√(A₁² + B₁² + C₁²) * √(A₂² + B₂² + C₂²)).

2. Условие перпендикулярности двух плоскостей:

A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0.

3. Угол между прямой и плоскостью:

Пусть прямая задана направляющим вектором s(m, p, q), а плоскость — вектором нормали n(A, B, C).

Угол ψ между прямой и плоскостью дополняет угол между s и n до 90°, поэтому вычисляется через СИНУС:

sin ψ = |Am + Bp + Cq| / (√(A² + B² + C²) * √(m² + p² + q²)).

ПЛОСКОСТЬ - ПЛОСКОСТЬ

Косинус нормалей

Угол между гранями равен углу между их векторами нормалей.
ПРЯМАЯ - ПЛОСКОСТЬ

Синус направляющего

Угол между прямой и плоскостью ищется через синус скалярного произведения.
Углы в пространстве
cos⁡φ=∣n⃗1⋅n⃗2∣∣n⃗1∣∣n⃗2∣;sin⁡ψ=∣n⃗⋅s⃗∣∣n⃗∣∣s⃗∣\cos \varphi = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|};\quad \quad \sin \psi = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{s}|}{|\vec{n}||\vec{s}|}
Между плоскостями — cos, между прямой и плоскостью — sin!
Раздел 4 из 5
4

Алгоритм составления уравнения плоскости по трем точкам

Пошаговый метод вычисления уравнения плоскости:

Шаг 1
Составление базовых векторов
По трем точкам M₁(x₁, y₁, z₁), M₂(x₂, y₂, z₂), M₃(x₃, y₃, z₃) построить два неколлинеарных вектора M₁M₂ и M₁M₃.
Шаг 2
Нахождение вектора нормали
Найти вектор n(A, B, C), перпендикулярный обоим векторам: n · M₁M₂ = 0 и n · M₁M₃ = 0 (через определитель или векторное произведение).
Шаг 3
Запись общего уравнения
Записать уравнение A(x - x₁) + B(y - y₁) + C(z - z₁) = 0 и привести его к каноническому виду Ax + By + Cz + D = 0.
Раздел 5 из 5
5

Ловушки ЕНТ: Путаница синуса и косинуса в координатных формулах

Критическая ошибка абитуриентов ЕНТ:

При нахождении угла между ПРЯМОЙ и ПЛОСКОСТЬЮ используют формулу с cos φ = |n · s| / (|n||s|).

Почему это ошибка:

Вектор нормали n перпендикулярен плоскости. Поэтому угол между вектором прямой s и вектором n равен 90° - ψ, где ψ — искомый угол между прямой и её проекцией на плоскость.

Так как cos(90° - ψ) = sin ψ, то скалярное произведение деленное на модули дает СИНУС угла между прямой и плоскостью, а не косинус!

Запоминалка:

• Угол между векторами -> cos φ

• Угол между двумя прямыми -> cos φ

• Угол между двумя плоскостями -> cos φ

• Угол между прямой и плоскостью -> sin ψ!

Единственный синус в стереометрии

Формула угла между прямой и плоскостью — единственная формула на скалярное произведение, где результатом является СИНУС угла (sin ψ = |n · s| / (|n||s|))!

Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул11 класс
Поверхность цилиндра:
Sбок=2πRh,Sполн=2πR(h+R)S_{бок} = 2\pi R h, \quad S_{полн} = 2\pi R(h + R)[см²]
Поверхность конуса:
Sбок=πRl,Sполн=πR(l+R)S_{бок} = \pi R l, \quad S_{полн} = \pi R(l + R)[см²]
Площадь сферы:
S=4πR2=πD2S = 4\pi R^2 = \pi D^2[см²]
Объем призмы и параллелепипеда:
V=Sосн⋅h,Vпар=abcV = S_{осн} \cdot h, \quad V_{пар} = a b c[см³]
Следующая тема

Комбинации геометрических тел: вписанные и описанные сферы

Перейти к теме →