ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Операции над векторами: сложение, вычитание и умножение на скаляр
Геометрия · 9 класс1 четвертьТема 1ГОСО РК 2026Базовый

Векторы на плоскости: понятие вектора, координаты вектора и вычисление длины

Определение вектора как направленного отрезка. Нулевой вектор. Коллинеарность и равенство векторов. Координаты вектора и формула модуля.

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы6 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ1 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

Понятие вектора, длина (модуль) и направление

1. Определение:

Вектор (направленный отрезок) — отрезок, для которого зафиксировано направление от начальной точки к конечной.

Обозначается двумя заглавными буквами со стрелкой: AB⃗\vec{AB} (где A — начало вектора, B — конец) или одной строчной буквой: a⃗\vec{a}.

2. Длина (модуль) вектора:

Длиной или абсолютной величиной вектора AB⃗\vec{AB} называется длина отрезка AB. Обозначается: |AB⃗∣\vec{AB}| или |a⃗∣\vec{a}|. Длина вектора всегда неотрицательна: |a⃗∣\vec{a}| ≥ 0.

3. Нулевой вектор:

Вектор, начало и конец которого совпадают (0⃗=AA⃗)\vec{0} = \vec{AA}). Длина нулевого вектора равна нулю (|0⃗∣=0)\vec{0}| = 0), а направление считается произвольным (неопределенным).

4. Единичный вектор (орт):

Вектор, длина которого строго равна 1: |e⃗∣=1\vec{e}| = 1.

Чертеж: Вектор на плоскости, модуль и направление

Векторная схема
a⃗b⃗a⃗ + b⃗ (треугольник)a⃗b⃗a⃗ + b⃗ (параллелограмм)Сложение векторов: по правилу треугольника и правилу параллелограмма
Вектор a⃗ имеет начальную точку, направление со стрелкой и длину |a⃗|; нулевой вектор 0⃗ имеет длину 0.
ВЕКТОР

Направленный отрезок

Геометрический объект, обладающий числовой величиной (длиной) и ориентацией в пространстве.
НУЛЬ-ВЕКТОР

|0⃗| = 0

Вектор с совпадающими концами; коллинеарен абсолютно любому вектору.
Модуль вектора
∣a⃗∣=∣AB⃗∣=длина отрезка AB;∣0⃗∣=0,∣e⃗∣=1|\vec{a}| = |\vec{AB}| = \text{длина отрезка } AB;\quad \quad |\vec{0}| = 0, \quad |\vec{e}| = 1
Вектор задается двумя независимыми характеристиками: длиной (модулем) и направлением в пространстве.
Раздел 2 из 5
2

Коллинеарность, сонаправленность и равенство векторов

1. Коллинеарность:

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых: a⃗\vec{a} ∥ b⃗\vec{b}.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

2. Сонаправленные и противоположно направленные векторы:

• Сонаправленные векторы (a⃗\vec{a} ↑↑ b⃗)\vec{b}): коллинеарные векторы, имеющие одинаковое направление;

• Противоположно направленные векторы (a⃗\vec{a} ↑↓ b⃗)\vec{b}): коллинеарные векторы, имеющие противоположные направления.

3. Равенство векторов:

Два вектора называются равными (a⃗=b⃗)\vec{a} = \vec{b}), если они:

1. Сонаправлены: a⃗\vec{a} ↑↑ b⃗\vec{b};

2. Имеют равные длины: |a⃗∣=∣b⃗∣\vec{a}| = |\vec{b}|.

От любой точки плоскости можно отложить вектор, равный данному, и притом только один (свободный вектор).

КОЛЛИНЕАРНОСТЬ

a⃗ ∥ b⃗

Параллельность линий действия векторов; направление может совпадать или быть противоположным.
РАВЕНСТВО ВЕКТОРОВ

a⃗ ↑↑ b⃗ и |a⃗| = |b⃗|

Полное совпадение длины и направления; вектор можно свободно параллельно переносить.
Раздел 3 из 5
3

Координаты вектора и вычисление его длины

1. Нахождение координат вектора по точкам его концов:

Пусть точка A(x₁, y₁) — начало вектора, а точка B(x₂, y₂) — конец вектора.

Координаты вектора AB⃗\vec{AB} равны разностям соответствующих координат его конца и начала:

AB⃗=(x2−x1;  y2−y1)\vec{AB} = (x_2 - x_1;\quad \;\quad y_2 - y_1).

2. Разложение по базисным ортам:

Любой вектор на плоскости однозначно раскладывается по единичным базисным векторам координатных осей i⃗=(1\vec{i} = (1; 0) и j⃗=(0\vec{j} = (0; 1):

a⃗=xi⃗+yj⃗\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j}.

3. Формула длины (модуля) вектора в координатах:

По теореме Пифагора длина вектора a⃗(x\vec{a}(x; y) равна квадратному корню из суммы квадратов его координат:

∣a⃗∣=x2+y2|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2};
∣AB⃗∣=(x2−x1)2+(y2−y1)2|\vec{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.
Координаты и модуль вектора
AB⃗=(x2−x1;  y2−y1);∣a⃗∣=x2+y2\vec{AB} = (x_2 - x_1;\quad \;\quad y_2 - y_1);\quad \quad |\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}
Всегда вычитайте координаты НАЧАЛА из координат КОНЦА (Конец минус Начало)!
Раздел 4 из 5
4

Алгоритм нахождения координат и модуля вектора

Последовательность действий:

Шаг 1
Идентификация начала и конца
Определить координаты начальной точки A(x₁, y₁) и конечной точки B(x₂, y₂).
Шаг 2
Вычисление проекций на оси
Найти разности: x = x₂ - x₁ и y = y₂ - y₁.
Шаг 3
Вычисление длины (модуля)
Возвести координаты в квадрат, сложить и извлечь квадратный корень: |a⃗| = √(x² + y²).
Раздел 5 из 5
5

Ловушки ЕНТ: Порядок вычитания координат («Начало минус Конец»)

Самая частая ошибка школьников:

Вычитают координаты в обратном порядке (x₁ - x₂), получая вектор противоположного направления:

BA⃗=−AB⃗\vec{BA} = -\vec{AB}.

Хотя длина вектора от знака координат не изменится (так как (-x)² = x²), в операциях сложения и скалярного произведения неверный знак координат приведет к полному краху ответа!

Правило запоминания ЕНТ:

Вектор = КОНЕЦ МИНУС НАЧАЛО (К - Н).

Золотое правило ЕНТ: К - Н

Координаты вектора ВСЕГДА вычисляются по правилу: Координата Конца минус Координата Начала!

Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул9 класс
Длина вектора на плоскости:
∣a⃗∣=x2+y2|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}[ед.]
Скалярное произведение векторов:
a⃗⋅b⃗=x1x2+y1y2=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡φ\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\varphi[ед.²]
Условие ортогональности векторов:
a⃗⊥b⃗  ⟺  x1x2+y1y2=0\vec{a} \perp \vec{b} \iff x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0
Расстояние между двумя точками:
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}[ед.]
Следующая тема

Операции над векторами: сложение, вычитание и умножение на скаляр

Перейти к теме →